Родился в селе Большенизовцево Рыльского уезда Курской губернии (ныне Рыльский район Курской области) в крестьянской семье.
В 1940-1941 гг. — председатель колхоза «Красный Октябрь» Рыльского района Курской области.
С началом Великой Отечественной войны (1941-1945) в партизанском отряде, затем рядовой в Красной Армии.
В 1946 г. — старший лейтенант Ф.П. Максимов вернулся в родное село и вновь возглавил колхоз «Красный Октябрь».
Колхоз ежегодно получали высокие, устойчивые урожаи сельскохозяйственных культур.
4 мая 1948 г. Указом Президиума Верховного Совета СССР, за успехи, достигнутые в повышении урожайности, увеличении производства и заготовок сахарной свеклы (618 ц/га) Ф.П. Максимову присвоено звание Герой Социалистического Труда.
В 1954-1955 гг. колхоз стал участником Всесоюзной сельскохозяйственной выставки (ВСХВ).
7 декабря 1957 г. Указом Президиума Верховного Совета СССР, за успехи в развитии сельского хозяйства Ф.П. Максимову вторично присвоено звание Герой Социалистического Труда.
В 1970 г. вышел на пенсию.
Ф.П. Максимов был делегатом 20-го и 22-го съездов КПСС, избирался депутатом, Верховного Совета СССР (3-го созыва) и Верховного Совета РСФСР (5-го созыва).
Скончался в д. Сухая Рыльского района Курской области там и похоронен.
Награды: орден Ленина (1948), орден Ленина (1957), ордена и медали СССР, большая золотая медаль ВСХВ, малая золотая медаль ВСХВ.
В память о Ф.П. Максимове на родине установлен памятник (бюст).